Author: simo

DISPENSA DI MATEMATICA DI RECUPERO E CONSOLIDAMENTO
“Dalla potenza alla sua operazione inversa,al Teorema di Pitagora”
Già l’anno scorso dovresti aver appreso che una moltiplicazione è una somma ripetuta, quindi se scrivo:
a + a + a + a + a ennesima volta sommato a sé stesso = a • nesimo
Dunque se a = 4
n = 6
Ora possiamo definire una MOLTIPLICAZIONE RIPETUTA, con il nome di potenza, ovvero le moltiplicazioni in cui il fattore è il numero a moltiplicato per sé stesso n volte, dunque possiamo scrivere:
a • a • a • a • a • a • a • a…….ennesima volta
Possiamo affermare che nell’insieme delle moltiplicazioni possibili utilizzando i numeri naturali, le potenze sono “moltiplicazioni particolari in cui i fattori sono identici!!
M c P ovvero l’insieme numerico
P è incluso (sottoinsieme) di M, vuol dire che gli elementi numerici di P sono anche di M, ma alcuni sono di M e non di P.
ATTENTO: Perché puoi confonderti facilmente se credi che:
2 + 2 = 22 = 4
E’ un caso e può condurti ad un errore!!!!!
Pensa al numero 3. 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3 • 5 =15
Mentre 35 = 3 • 3 • 3 • 3 •3 = 243
Ma a cosa servono le potenze? Perché dobbiamo studiarle ???
1. Perché ci permettono di scrivere i numeri in NOTAZIONE SCIENTIFICA
(un caso particolare della scrittura esponenziale)
Ovvero di scrivere il numero come fattori; uno compreso fra 1 e 9 e l’altro come potenza di 10.
Ad es. 12500 = 1,25 x 104
2. Perché possiamo scrivere in NOTAZIONE ESPONENZIALE
Ad es. 12500 = 125 x 102

4 + 4 +4 +4 +4 +4 = 4 • 6

an

p

M

Proprietà delle potenze e
operazione inversa

Proprietà delle potenze. / Le proprietà delle potenze sono valide nel caso tu abbia una moltiplicazione oppure una divisione fra potenze, mentre quando hai addizione e sottrazione devi svolgere l’elevamento a potenza. Le proprietà nascono in questo caso dalla necessità di abbreviare i calcoli, senza svolgerli direttamente, ma esprimendoli in forma “irrisolta”. / Quindi se leggi la frase: / “Il prodotto di due o più potenze aventi la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti” / in matematica scriviamo: (formalizziamo) / aw • at = aw + t / Ricorriamo ad un esempio chiarificatore: / 56 • 512 = 6+ 12 = 518 / Se non ci credi, svolgi il calcolo e conta quanti sono i 5 moltiplicati per sé stessi…!! / Lo stesso concetto è applicabile per la divisione. / “Il quoziente di due potenze aventi la stessa base è una potenza che ha ancora la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti” / Come sintetizzeresti la proprietà sopra scritta? / __________________________________________________________________________________________________________________________________________ / Se ti scrivo: (aq)f come pensi di poter risolvere il calcolo e come tradurresti in linguaggio naturale, il linguaggio matematico? / ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Se la potenza è una moltiplicazione ripetuta, la sua operazione inversa sarà una DIVISIONE RIPETUTA, che prende il nome di RADICE. Proviamo a dimostrare questa affermazione, partendo dalla potenza: / 42 =16 se 16 : 2 = 8 : 2 = 4 : 2 = 2 : 2 = 1 in neretto viene indicato l’esponente / 16 viene diviso per l’esponente per 4 volte come viene indicato dalla base. / Per accorciare questa operazione ripetuta, i matematici hanno inventato un simbolo matematico; LA RADICE, che possiamo definire come: / “Il numero che elevato all’indice di radice mi permette di ottenere il suo argomento”
Quindi: perché 4 alla seconda (indice di radice) è uguale a 16

Radice
indice Argomento
L’indice della radice quando è due (quadrato) si omette, ovvero si lascia sottointeso.
I radicali così come le potenze hanno delle proprietà che ti permettono di semplificare i calcoli. Come per le potenze, esse valgono solo quando l’argomento della radice è un prodotto, oppure un quoziente.
Dunque posso osservare come un argomento della radice, possa essere considerato come un prodotto:
Quindi a questo punto scrivo,
Si noti che è possibile scrivere il radicale separato perché il risultato è lo stesso (la proprietà è la INVARIANTIVA).
E lo stesso vale per un argomento di radice razionale, come nel seguente esempio:
Infatti 81:16 = 5,0625 =
che semplificato è uguale a:
Ma lo stesso vale se abbiamo una ADDIZIONE OPPURE UNA SOTTRAZIONE NELL’ARGOMENTO DELLA RADICE?!
Prova tu a dimostrarlo con esempio guidato:
Consideriamo sempre:
Sappiamo che RADICE DI DUE è un numero IRRAZIONALE (cioè non riconducibile ad una frazione generatrice, perché la sua parte decimale è NON PERIODICA E ILLIMITATA), quindi in questo caso il risultato NON è calcolabile, poiché dovresti sommare due quantità INFINITAMENTE DIVERSE LA CUIPARTE DECIMALE CAMBIA SEMPRE!!
Ma tutto dovrebbe essere uguale a 4!!
Quindi cosa puoi dedurre dall’esempio?! Prova a spiegare le tue ipotesi che spiegano l’evento matematico.
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Se non sei ancora convinto, utilizziamo una scoperta geometrica per affermare che il radicale non può essere scomposto se nell’argomento abbiamo una ADDIZIONE O SOTTRAZIONE.
Osserva queste uguaglianze: 32 + 42 = 52
Quindi trattandosi di potenze, potresti dire se l’uguaglianza è vera oppure no.
Allora cosa dici?
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Osserva anche questa terna di numeri: 52 + 122 = 132
E’ sempre vera ?
Disegna nello spazio bianco sotto il triangolo attribuendogli le misure sopra. Utilizza riga, squadra e ricorda le caratteristiche geometriche del triangolo!!
Che tipo di triangolo disegni?
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Disegna ora quattro triangoli qualsiasi e poi riporta le dimensioni utilizzate, verificando se l’uguaglianza che hai imparato è vera oppure falsa. Come potresti spiegare il fenomeno?
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Considera questo triangolo che tu definisci:(motiva il nome del triangolo giallo)______________________________________________________________________________________________________
Ora attribuisci il valore di 3,4 e 5 ai lati.
Come puoi essere sicuro che la terna di numeri (tre numeri) dia un triangolo che si chiude?Esiste un teorema …________________________________________________________________________________________________________________________________________

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# Dispensa di matematica Prof. SCHIAVON SIMONE. A.s. 2013-2014

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